O demonstraţie trigonometrică a relaţiei lui Ptolemeu

Teoremă (Ptolemeu). Dacă ABCD este un patrulater inscriptibil, atunci:
$AC\cdotBD=AB\cdotCD+BC\cdotDA$

Cu alte cuvinte, produsul diagonalelor este egal cu suma produselor laturilor opuse.

Iată o demonstraţie trigonometrică a acestei teoreme:
Pentru simplitate, vom face următoarele notaţii
AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, BD=e şi CA=f.
Aplicând teorema cosinusului în $\bigtriangleup ABD$ pentru  $\widehat{BAD}$, obţinem
(1) $e^2=a^2+d^2-2ad\cosA$;
Şi analog, pentru $\widehat{BCD}$ din $\bigtriangleup BCD$
(2) $e^2=b^2+c^2-2bc\cosC$.
Întrucât patrulaterul ABCD este inscriptibil
$C=\pi-A$,
Relaţia (2) devine
(3) $e^2=b^2+c^2+2bc\cosA$.
Eliminând $\cosA$ între relaţiile (1) şi (3), rezultă
(4) $e^2=\frac{(a^2+d^2)bc+(b^2+c^2)ad}{ad+bc}$.
Dacă R este raza cercului circumscris patrulaterului ABCD, atunci
$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=\frac{abf}{4R}+\frac{cdf}{4R}=\frac{(ab+cd)f}{4R}$
Şi analog
$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{ade}{4R}+\frac{bce}{4R}=\frac{(ad+bc)e}{4R}$.
Egalând ultimele două relaţii, obţinem
$\frac{(ab+cd)f}{4R}=\frac{(ad+bc)e}{4R}$
De unde
(5) $e=\frac{(ab+cd)f}{ad+bc}$.
Din (4) şi (5), înlocuind în (4) un e cu valoarea din (5), obţinem
$\frac{(ab+cd)ef}{ad+bc}=\frac{(a^2+d^2)bc+(b^2+c^2)ad}{ad+bc}$,
De unde
$ef=\frac{(a^2+d^2)bc+(b^2+c^2)ad}{ab+cd}=\frac{ac(ab+cd)+bd(cd+ab)}{ab+cd}=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ab+cd}=ac+bd$.
Prin urmare
$ef=ac+bd$, c.c.t.d.