Aplicaţie a reciprocei lui Ptolemeu: Cercul lui Euler

Teoremă (Euler). Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt 9 puncte conciclice.

Iată încă o teoremă pentru care prezentăm o demonstraţie trigonometrică.
Demonstraţia se va face în două etape. În prima etapă se va arăta că mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice, iar în a doua etapă că picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice. În ambele etape se va folosi reciproca teoremei lui Ptolemeu.
I. Mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice

Fie M, N, P respectiv mijloacele laturilor BC, CA şi AB, iar A`, B`, C` respectiv picioarele înălţimilor corespunzătoare aceloraşi laturi ale triunghiului ABC.
Vom demonstra pentru început că punctele A`, M, N şi P sunt conciclice. Pentru aceasta, calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A`MNP.
$MN=\frac{c}{2}$; $NP=\frac{a}{2}$; $MP=\frac{b}{2}$ (linii mijlocii în $\bigtriangleup ABC$)
$A`P=\frac{c}{2}$; $A`N=\frac{b}{2}$ (mediane corespunzătoare ipotenuzelor în $\bigtriangleup AA`B$, respectiv $\bigtriangleup AA`C$)
$A`M=BM-BA`=\frac{a}{2}-c\cos B=\frac{a}{2}-c\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{b^2-c^2}{2a}$.
Calculăm apoi
(1) $A`M\cdotNP+MN\cdotA`P=\frac{b^2-c^2}{2a}\cdot\frac{a}{2}+\frac{c}{2}\cdot\frac{c}{2}=\frac{b^2-c^2}{4}+\frac{c^2}{4}=\frac{b^2}{4}$;
Şi
(2) $A`N\cdotMP=\frac{b}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{b^2}{4}$.
Comparând relaţiile (1) şi (2), constatăm că
$A`M\cdotNP+MN\cdotA`P=A`N\cdotMP$,
Adică patrulaterul A`MNP este inscriptibil, conform reciprocei lui Ptolemeu.
Analog, se demonstrează că B`, M, N, P, respectiv C`, M, N, P sunt conciclice.
Prin urmare, picioarele înălţimilor şi mijloacele laturilor unui triunghi sunt puncte conciclice.
II. Picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

Fie A`, B`, C` picioarele înălţimilor corespunzătoare laturilor BC, CA, respectiv AB şi A``, B``, C`` mijloacele segmentelor AH, BH, respectiv CH. Vom demonstra pentru început că punctele A`, B`, C` şi A`` sunt conciclice. Pentru aceasta,calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A`B`A``C`.
$A`B`=c\cos C$; $B`C`=a\cos A$; $A`C`=b\cos B$;
$B`A``=\frac{AH}{2}$; $C`A``=\frac{AH}{2}$ (mediane corespunzătoare ipotenuzei în triunghiurile dreptunghice AB`H, respectiv AC`H);
Pentru calculul lui HA`, aplicăm teorema lui Menelaos în triunghiul AA`C intersectat de dreapta BB`:
$\frac{HA}{HA`}\cdot\frac{BA`}{BC}\cdot\frac{B`C}{B`A}=1 \Leftrightarrow$
$\frac{HA}{HA`}\cdot\frac{c\cos B}{a}\cdot{a\cos C}{c\cos A}=1 \Leftrightarrow$
$\frac{HA}{HA`}=\frac{\cos A}{\cos B\cos C} \Leftrightarrow$
$HA`=\frac{AH\cos B\cos C}{\cos A}$.
Apoi,
$A``A`=HA`+A``H=\frac{\cos A+2\cos B\cos C}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}=\frac{\cos A+\cos (B+C)+\cos (B-C)}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}=\frac{\cos (B-C)}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}$.
Calculăm apoi
(1) $A``A`\cdotB`C`=\frac{\cos (B-C)}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}\cdot(a\cos A)=a\cos (B-C)\frac{AH}{2}$;
Şi
(2) $A`B`\cdotC`A``+A`C`\cdotB`A``=c\cos C\cdot\frac{AH}{2}+b\cos B\cdot\frac{AH}{2}=(b\cos B+c\cos C)\frac{AH}{2}=(2R\sin B\cos B+2R\sin C\cos C)\frac{AH}{2}=R(\sin 2B+\sin 2C)\frac{AH}{2}=2R\sin A\cos (B-C)\frac{AH}{2}=a\cos (B-C)\frac{AH}{2}$.
Comparând relaţiile (1) şi (2), obţinem:
$A``A`\cdotB`C`=A`B`\cdotC`A``+A`C`\cdotB`A``$.
Prin urmare, patrulaterul A`B`A``C` este inscriptibil şi punctele A`, B`, C`, A`` sunt conciclice.
Analog se arată că punctele A`, B`, C`, B`` şi respectiv A`, B`, C`, C`` sunt conciclice.
Aşadar, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

I şi II demonstrează că picioarele înălţimilor, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul unui triunghi cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.