Lucrul la crac

Tipul evenimentului: întâmplare reală
Localizare spaţială: Iulius Mall, Cluj-Napoca
Localizare temporală: 22 ianuarie 2011

Vreau să-mi transform două perechi de blugi în pantaloni pescăreşti. Asta însemnând că trebuie să-i scurtez şi, pentru că în ultima vreme am mai slăbit, să şi strâmtez puţin una din perechi care nu-mi mai vine. Zis şi făcut. Rulez blugii, îi vâr în sacul de spate şi haidem - n-o să vă vină să credeţi - la... Iulius Maaaall!!! Acolo, pe unul din culoarele giganticului complex e un anunţ care arată că în parcarea de la Iulius Mall se fac “Retuşuri”. OK! Hai în parcare!
Sunt cu o prietenă. Vesele şi surâzătoare la gândul că vom termina repede şi scăpa ieftin pentru a merge apoi la o îngheţată, coborâm în parcare, la “Reduşi”, cum ne place să numim în glumă secţia de “Retuş”.
Găsim “retuşurile” şi intrăm. Ne întâmpină o doamnă zâmbitoare, cu o foarfecă imensă în mâna dreaptă.
- Bună ziua!
- Bună ziua! Ce aveţi?
- Blugi.
- Pentru?
- Scurtat...
- Scurtatul e 24,5 roni. Pe sfârşitul săptămânii viitoare.
“Cam scump şi mai şi durează”, mă gândesc. Dar doamna îmi citeşte parcă gândul:
- Cu o taxă de urgenţă îi aveţi mai repede - la începutul săptămânii viitoare.
- Da?
- Da.
- Şi cât e taxa de urgenţă?
- 38 roni.
- Aha! Bine... Păi, să vă arăt pantalonii, să vedeţi cam despre ce e vorba.
Scot cu prudenţă blugii din sac - doar o pereche, cei care trebuie şi strâmtaţi.
- Vreau să-i scurtez până aici - şi arăt acul de gămălie înfipt de acasă în pantalon - ...
- 24,5.
- ... Şi să îi strâmtez puţin pe picior...
- Unul e 24,5 - intervine doamna.
- Cum adică? Ce facem aici, lucrăm la crac?! Întreb, nevenindu-mi să cred.
Doamna zâmbeşte strâmb, oarecum compătimitor că nu pricep:
- Scurtatul e 24,5; strâmtatul - 24,5.
- Aha! Şi cred că ar mai trebui luaţi şi puţin în talie...
Prietena mea anticipează, precoce, bucuroasă că a prins ideea:
- ...Încă 24,5!
Doamna, zâmbind în continuare imperturbabil:
- N-aţi ghicit! Încă 34,5!
- Să recapitulăm: 24,5 o dată, 24,5 de două ori, plus 34,5, adică un total rotund de 84 roni... Păi la preţul ăsta îmi iau trei perechi de blugi proletari...
Doamna e de acord.
Împătur frumuşel blugii în geantă şi dispar.
Sus, la îngheţată, că aici, jos, m-am lămurit cum stăm cu “lucrul la crac”. Poate că totuşi cornetul de îngheţată mai e încă de mutra noastră, a pârliţilor naivi care-şi închipuie că transformarea unei perechi de blugi în pantaloni pescăreşti e de nasul lor la Iulius Mall!

Piticul din vârful parului

S-a suit Piticul în vârful parului din capătul satului şi nu s-a mai dat jos de acolo. S-au strâns oamenii ca la urs în jurul parului, unii minunându-se în gura mare, alţii crucindu-se în tăcere. L-au rugat să se dea jos; mai întâi cu binele şi cu frumosul, apoi aspru şi mustrător iar în cele din urmă cu huiduieli şi cu sudalme ca la uşa cortului. Piticul însă, mai încăpăţânat ca măgarul popii din sat, nu voia să coboare şi pace.
Văzând că nu-i chip să-l facă să se dea jos, oamenii au plecat în cele din urmă care încotro, lăsându-l în plata Domnului şi urându-i să stea acolo până s-o usca.
După ce au plecat sătenii, s-a făcut limişte. Nu se mai vedea ţipenie în jur. Doar porcul lui Parpanghel, umflat şi sătul, se apropia încetişor. Îşi mişca alene fundul dintr-o parte în alta, cu codiţa scurtă făcută cârcel.
Ajuns lângă par, porcul se opreşte. Priveşte în jur, grohăie nemulţumit şi începe să se scarpine, frecându-şi şoricul de par. Parul se mişcă, piticul se clatină şi începe să ţipe, înfricoşat.
Dar porcul se opreşte din scărpinat. Sprijinit mai departe de par, se lasă să alunece greoi pe pământ într-o rână. Adoarme grohăind mulţumit. Visează boabe de porumb, frunze de lăptucă, mere fierte cu mălai, rădăcini dulci de laba-ursului... Şi deodată, îi vine poftă de rădăcini. Sare în picioare şi începe să râme furios la rădăcina parului.
Parul se scutură teribil în toate părţile, cu Piticul cocoţat în vârf. Piticul ţipă îngrozit, şi se agaţă cu disperare de par. Parul se înclină din ce în ce mai periculos şi în cele din urmă se prăbuşeşte la pământ cu Pitic cu tot. După un moment de stupoare, Piticul o şterge...
Şi astfel, ce n-a reuşit un norod întreg cu ameninţări şi cu sudalme, a făcut porcul lui Parpanghel, aţâţat de poftă...

Punte peste intersecţie

Tipul evenimentului: întâmplare reală
Localizare spaţială: Bucureşti
Localizare temporală: decembrie 2010


Ea merge în fiecare zi la muncă, cu autobusul sau cu taxiul, aproape de fiecare dată în altă parte a oraşului. Se îndreaptă spre staţie, strecurându-se pe străduţele întortocheate, trecând ca o umbră pe lângă ziduri, garduri vii, printre maşini parcate pe trotuar, câini în lesă sau fără stăpân, pietoni grăbiţi, copii care merg la şcoală. Elegantă şi cochetă, e întotdeauna fericită şi bine dispusă, gata oricând să răspundă la un salut sau să se oprească în loc şi să strângă mâna cuiva.
Astăzi însă e frig, lumea trece grăbită încoace şi încolo, înfundându-şi adânc mâinile în buzunare şi strângându-şi mai bine fularul la gât, nerăbdătoare să ajungă cât mai repede la şcoală sau la serviciu, oriunde unde e bine şi cald.
Iată şi intersecţia. Aici, se opreşte, nehotărâtă. Oamenii trec pe lângă ea fără să se oprească, preocupaţi sau cu gândul aiurea, fiecare cu treburile şi grijile lui.
Ce să facă? Pe cine să întrebe?
Încă o clipă de ezitare, apoi se decide să treacă, dar deodată...
- Doamnă, vreţi să treceţi? Lăsaţi-mă să vă ajut...
Ezită din nou.
- Hai, nu vă fie teamă! Daţi-mi mâna!
Întinde mâna în cele din urmă şi degetele ei şovăitoare întâlnesc mâna omului, peste braţul metalic al căruciorului. Încremeneşte... Dar mâna omului o trage, căruciorul se pune în mişcare  şi încep să traverseze iute, strecurându-se cu multă îndemânare printre maşini şi pietoni. Într-o clipă, sunt pe celălalt trotuar. Aici, se opreşte, aiurită şi confuză, strângând încă mâna omului într-a sa, iar în cealaltă mânerul bastonului alb.
- Vă... mulţumesc.
- Mi-a făcut plăcere. Numai bine. Să aveţi o zi bună!
Şi omul se îndepărtează, urmărit de fâşâitul caracteristic al roţilor de cauciuc pe asfalt.
Începe să-şi revină. Traficul reîncepe cu şi mai mult zgomot, maşinile gonesc nebuneşte prin intersecţie, pietonii trec grăbiţi de pe un trotuar pe altul, lumea se mişcă, Pământul se învârteşte, soarele se ridică mai sus pe cer, sub stratul gros de nori.
Doar pentru o clipă lumea a stat în loc şi două mâini, venind din direcţii şi lumi diferite, s-au strâns cu putere peste marginea unui cărucior cu rotile, pentru a traversa o intersecţie într-o dimineaţă geroasă de iarnă...

Cel mai înţelept prinţ

Un împărat voia să-şi mărite fata cu cel mai înţelept prinţ din împărăţie. Aşa că, sfetnicii împăratului au pus la cale o întrecere între cei mai inteligenţi trei prinţi din împărăţie.
Prinţii au fost conduşi într-o odaie, au fost aşezaţi fiecare cu faţa spre ceilalţi doi şi li s-au arătat două pălării negre şi trei albe. Apoi, au fost legaţi la ochi, li s-a aşezat câte o pălărie pe cap, iar restul pălăriilor au fost duse şi încuiate într-o altă odaie.
Împăratul le spuse că acela dintre ei care va deduce primul culoarea pălăriei pe care o poartă, fără a o scoate de pe cap sau a o privi, se va căsători cu fiica lui; un răspuns greşit va însemna moartea. Pe urmă, li s-au scos legăturile de pe ochi.
Sunteţi unul dintre prinţi. Vedeţi câte o pălărie albă pe capul fiecăruia dintre ceilalţi doi prinţi. După un timp, vă daţi seama că ceilalţi doi nu pot deduce culoarea pălăriei pe care o poartă sau nu vor să răspundă. Ce culoare are pălăria dumneavoastră?
Observaţie: Dumneavoastră ştiţi că rivalii pe care îi aveţi sunt foarte inteligenţi şi nu vor nimic altceva decât mâna prinţesei. Mai ştiţi şi că împăratul este un om de cuvânt şi că el a spus că veţi participa la o întrecere corectă de curaj şi inteligenţă.
(de pe www.fojl.com/puzzles/)
Aştept comentarii cu răspunsurile dumneavoastră.

Aplicaţie a reciprocei lui Ptolemeu: Cercul lui Euler

Teoremă (Euler). Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt 9 puncte conciclice.

Iată încă o teoremă pentru care prezentăm o demonstraţie trigonometrică.
Demonstraţia se va face în două etape. În prima etapă se va arăta că mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice, iar în a doua etapă că picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice. În ambele etape se va folosi reciproca teoremei lui Ptolemeu.
I. Mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice

Fie M, N, P respectiv mijloacele laturilor BC, CA şi AB, iar A`, B`, C` respectiv picioarele înălţimilor corespunzătoare aceloraşi laturi ale triunghiului ABC.
Vom demonstra pentru început că punctele A`, M, N şi P sunt conciclice. Pentru aceasta, calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A`MNP.
$MN=\frac{c}{2}$; $NP=\frac{a}{2}$; $MP=\frac{b}{2}$ (linii mijlocii în $\bigtriangleup ABC$)
$A`P=\frac{c}{2}$; $A`N=\frac{b}{2}$ (mediane corespunzătoare ipotenuzelor în $\bigtriangleup AA`B$, respectiv $\bigtriangleup AA`C$)
$A`M=BM-BA`=\frac{a}{2}-c\cos B=\frac{a}{2}-c\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{b^2-c^2}{2a}$.
Calculăm apoi
(1) $A`M\cdotNP+MN\cdotA`P=\frac{b^2-c^2}{2a}\cdot\frac{a}{2}+\frac{c}{2}\cdot\frac{c}{2}=\frac{b^2-c^2}{4}+\frac{c^2}{4}=\frac{b^2}{4}$;
Şi
(2) $A`N\cdotMP=\frac{b}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{b^2}{4}$.
Comparând relaţiile (1) şi (2), constatăm că
$A`M\cdotNP+MN\cdotA`P=A`N\cdotMP$,
Adică patrulaterul A`MNP este inscriptibil, conform reciprocei lui Ptolemeu.
Analog, se demonstrează că B`, M, N, P, respectiv C`, M, N, P sunt conciclice.
Prin urmare, picioarele înălţimilor şi mijloacele laturilor unui triunghi sunt puncte conciclice.
II. Picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

Fie A`, B`, C` picioarele înălţimilor corespunzătoare laturilor BC, CA, respectiv AB şi A``, B``, C`` mijloacele segmentelor AH, BH, respectiv CH. Vom demonstra pentru început că punctele A`, B`, C` şi A`` sunt conciclice. Pentru aceasta,calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A`B`A``C`.
$A`B`=c\cos C$; $B`C`=a\cos A$; $A`C`=b\cos B$;
$B`A``=\frac{AH}{2}$; $C`A``=\frac{AH}{2}$ (mediane corespunzătoare ipotenuzei în triunghiurile dreptunghice AB`H, respectiv AC`H);
Pentru calculul lui HA`, aplicăm teorema lui Menelaos în triunghiul AA`C intersectat de dreapta BB`:
$\frac{HA}{HA`}\cdot\frac{BA`}{BC}\cdot\frac{B`C}{B`A}=1 \Leftrightarrow$
$\frac{HA}{HA`}\cdot\frac{c\cos B}{a}\cdot{a\cos C}{c\cos A}=1 \Leftrightarrow$
$\frac{HA}{HA`}=\frac{\cos A}{\cos B\cos C} \Leftrightarrow$
$HA`=\frac{AH\cos B\cos C}{\cos A}$.
Apoi,
$A``A`=HA`+A``H=\frac{\cos A+2\cos B\cos C}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}=\frac{\cos A+\cos (B+C)+\cos (B-C)}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}=\frac{\cos (B-C)}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}$.
Calculăm apoi
(1) $A``A`\cdotB`C`=\frac{\cos (B-C)}{\cos A}\cdot\frac{AH}{2}\cdot(a\cos A)=a\cos (B-C)\frac{AH}{2}$;
Şi
(2) $A`B`\cdotC`A``+A`C`\cdotB`A``=c\cos C\cdot\frac{AH}{2}+b\cos B\cdot\frac{AH}{2}=(b\cos B+c\cos C)\frac{AH}{2}=(2R\sin B\cos B+2R\sin C\cos C)\frac{AH}{2}=R(\sin 2B+\sin 2C)\frac{AH}{2}=2R\sin A\cos (B-C)\frac{AH}{2}=a\cos (B-C)\frac{AH}{2}$.
Comparând relaţiile (1) şi (2), obţinem:
$A``A`\cdotB`C`=A`B`\cdotC`A``+A`C`\cdotB`A``$.
Prin urmare, patrulaterul A`B`A``C` este inscriptibil şi punctele A`, B`, C`, A`` sunt conciclice.
Analog se arată că punctele A`, B`, C`, B`` şi respectiv A`, B`, C`, C`` sunt conciclice.
Aşadar, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

I şi II demonstrează că picioarele înălţimilor, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul unui triunghi cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

Reciproca teoremei lui Ptolemeu

Reciproca teoremei lui Ptolemeu. Dacă ABCD este un patrulater convex, în care:
$AC\cdotBD=AB\cdotCD+BC\cdotDA$,

Atunci patrulaterul este inscriptibil.
Cu alte cuvinte, un patrulater convex în care produsul diagonalelor este egal cu suma produselor laturilor opuse, este inscriptibil.
 

Teorema directă şi reciproca teoremei lui Ptolemeu se pot formula într-un singur enunţ, astfel:
Un patrulater este inscriptibil dacă şi numai dacă produsul diagonalelor sale este egal cu suma produselor laturilor opuse.
Altfel spus, relaţia lui Ptolemeu este o condiţie necesară şi suficientă pentru inscriptibilitatea unui patrulater convex.