La mulţi ani, Andreea!

Prietena mea împlineşte azi un sfert de secol şi cu această ocazie a întocmit un bilanţ mai puţin obişnuit pentru cea mai mare parte dintre noi: numărul ţărilor străbătute şi kilometrajul total înregistrat la bordul avioanelor. Norocul sau destinul i-au dat posibilitatea ca până la această vârstă să pună piciorul în 15 ţări din Europa, Africa şi Orientul Mijlociu, în 30 de oraşe, parcurgând o distanţă totală de 200.882 de km, echivalentă cu de 5 ori circumferinţa Pământului şi cu jumătate din distanţa de la Pământ la Lună. A întocmit chiar şi o hartă cu ţările în cauză, marcate cu verde, pe care o redau mai jos.

Create your own travel map


Andreea has traveled to: Austria, Cyprus, Egypt, France, Germany, Greece, Hungary, Italy, Morocco, Oman, Poland, Romania, San Marino, Turkey, United Arab Emirates, United Kingdom

În ordine alfabetică, acestea ar fi:
1. Austria (tranzit);
2. Cipru (4 ori);
3. Egipt (2 ori);
4. Emiratele Arabe Unite (21 ori);
5. Franţa;
6. Germania (2 ori);
7. Grecia (3 ori);
8. Italia;
9. Marea Britanie;
10. Maroc;
11. Oman (2 ori);
12. Polonia (3 ori);
13. San Marino;
14. Turcia;
15. Ungaria (tranzit).
Tot în ordine alfabetică, oraşele prin care a trecut sunt:
1. Ajman (Emiratele Arabe Unite);
2. Atena (Grecia);
3. Berlin (Germania);
4. Cairo (Egipt);
5. Casablanca (Maroc);
6. Dubai (Emiratele Arabe Unite);
7. Florenta (Italia);
8. Fujairah (Emiratele Arabe Unite);
9. Glasgow (Marea Britanie);
10. Hurghada (Egipt);
11. Istanbul (Turcia);
12. Khor Fakkan (Emiratele Arabe Unite);
13. Larnaca (Cipru);
14. Londra (Marea Britanie);
15. Luxor (Egipt);
16. München (Germania);
17. Muscat (Oman);
18. Nicosia (Cipru);
19. Paris (Franţa);
20. Rabat (Maroc);
21. Ras al-Khaimah (Emiratele Arabe Unite);
22. San Marino (San Marino);
23. Sharjah (Emiratele Arabe Unite);
24. Tarvisio (Italia);
25. Torun (Polonia);
26. Umm al-Quwain (Emiratele Arabe Unite);
27. Udine (Italia);
28. Valverde (Italia);
29. Varşovia (Polonia);
30. Veneţia (Italia)
Să fie aceasta o şansă extraordinară dată unui om din câteva sute de milioane sau pur şi simplu destinul? Cine ştie!?
Oricum, frumoasă şi grea şansă!
La mulţi ani şi la mai mare, Andreea!

Saramură de peşte

Prezentăm mai jos reţeta pentru o delicioasă saramură de peşte, reţetă pe care am primit-o de la dl. Marius Cracană, un pasionat şi talentat preparator de delicatese culinare:

SARAMURĂ DE PEŞTE
1 kg de peşte; 4-5 ardei capia; 2 ardei iuţi; 4-5 roşii; 4-5 căţei de usturoi pisaţi;o legătură de pătrunjel verde; o cană de apă; sare, piper după gust
Se curăţă peştii de solzi şi măruntaie, se prăjesc pe grătar, se aşează într-un vas, apoi se coc ardeii capia şi roşiile şi se decojesc.
Se prepară saramura: usturoiul pisat se amestecă cu sare şi piper după gust, se adaugă puţin ulei ca la maioneză şi se omogenizează totul până se obţine o pastă, apoi se adaugă ardeii iuţi tăiaţi mărunt, roşiile şi ardeii capia tăiaţi felii, pătrunjelul tocat mărunt şi o cană de apă. Se amestecă totul bine, se toarnă peste peştii din vas şi se dă vasul la cuptor timp de 20-30 minute.
Se serveşte cu mămăligă fierbinte.
Poftă bună!

O demonstraţie trigonometrică a relaţiei lui Euler

Relaţia lui Euler. Dacă O şi I sunt centrul cercului circumscris, respectiv centrul cercului înscris într-un triunghi oarecare, iar R şi r sunt respectiv razele acestor cercuri, atunci are loc următoarea relaţie, cunoscută sub numele de relaţia lui Euler:
(*) $OI^2=R^2-2Rr$.

Vom prezenta o demonstraţie trigonometrică a acestei relaţii.
Relaţia (*) este echivalentă cu:
(**) $OI^2-R^2=-2Rr$.
Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul AIO:
$OI^2=AI^2+AO^2-2AI\cdot AO\cdot \cos \widehat{IAO}\Leftrightarrow$
$OI^2=AI^2+R^2-2R\cdot AI\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})\Leftrightarrow$
(1) $OI^2-R^2=AI^2-2R\cdot AI\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})$.

Dacă $I_{1}$ este proiecţia lui I pe AB, atunci din triunghiul dreptunghic $AII_{1}$, obţinem:
$AI=\frac{II_{1}}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$.
Înlocuind în (1) pe AI, rezultă:
$OI^2-R^2=\frac{r^2}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{r}{\sim \frac{A}{2}}\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})$.
Comparând ultima relaţie cu (**), demonstraţia relaţiei lui Euler se reduce la a arăta că:
$\frac{r^2}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})=-2Rr$
adică
$\frac{r}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{r}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}\cdot (\cos \widehat{BAO}\cos \frac{A}{2}+\sin \widehat{BAO}\sin \frac{A}{2})=-2R\leftrightarrow$
(2) $\frac{r}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\left(\cos \widehat{BAO}\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}+\sin \widehat{BAO}\right)=-2R$.
În continuare, vom ţine cont de formulele:
$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$ şi $\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$
şi de faptul că:
$m(\widehat{BAO})=\frac{\pi -m(\widehat{AOB})}{2}=\frac{\pi -2C}{2}=\frac{\pi}{2}-C$.
Aşadar, relaţia (2) devine:
(3) $\frac{rbc}{(p-b)(p-c)}-2R\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-C\right)\sqrt{\frac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}+\sin \left(\frac{\pi}{2}-C\right)\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{rbcp(p-a)}{S^2}-2R\left(\sin C\frac{S}{(p-b)(p-c)}+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{rbcp(p-a)}{rpS}-2R\left(\sin C\frac{Sp(p-a)}{S^2}+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{bc(p-a)}{\frac{abc}{4R}}-2R\left(\frac{p(p-a)}{\frac{abc}{4R}}\sin C+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4R(p-a)}a}-2R\left(\frac{4Rp(p-a)}{abc}\sin C+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4r(p-a)}{a}-2R\left(\frac{2cp(p-a)}{abc}+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4R(p-a)}{a}-\frac{4Rp(p-a)}{ab}-2R\cos C=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4R(p-a)}{a}\left(1-\frac{p}{b}\right)-2R\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{-4R(p-a)(p-b)}{ab}-2R\frac{a^2+B^2-c^2}{2ab}=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{2(p-a)(p-b)}{ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\Leftrightarrow$
$\frac{(b-a+c)(a-b+c)}{2ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\Leftrightarrow$
$\frac{ab-b^2+bc-a^2+ab-ac+ac-bc+c^2+a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\Leftrightarrow$
$\frac{2ab}{2ab}=1$ (A).
Q.E.D.

Cel mai înţelept prinţ - rezolvare

Pălăria dumneavoastră este albă. Împăratul nu ar fi ales două pălării albe şi una neagră. Aceasta ar fi însemnat ca cei doi prinţi să vadă o pălărie albă şi una neagră. Iar dumneavoastră aţi fi fost în dezavantaj dacă eraţi singurul prinţ care purta pălărie neagră.
Dacă aţi fi avut pălărie neagră, nu ar fi durat mult până când unul din ceilalţi doi prinţi ar fi dedus că poartă pălărie albă. Un prinţ înţelept care ar fi văzut o pălărie albă şi una neagră, şi-ar fi dat până la urmă seama că împăratul nu ar fi ales niciodată două pălării negre şi una albă. Văzând două pălării negre, oricare dintre ei ar fi ştiut că poartă pălărie albă. Aşadar, dacă un prinţ vede o pălărie neagră poate deduce că pălăria lui este albă.
Deci, întrecerea este dreaptă numai atunci când toţi cei trei prinţi poartă pălării albe. Aşteptând un timp pentru a fi sigur că nu greşiţi, puteţi spune fără urmă de îndoială că purtaţi pălărie albă.
(de pe www.fojl.com/puzzles/)

Lucrul la crac

Tipul evenimentului: întâmplare reală
Localizare spaţială: Iulius Mall, Cluj-Napoca
Localizare temporală: 22 ianuarie 2011

Vreau să-mi transform două perechi de blugi în pantaloni pescăreşti. Asta însemnând că trebuie să-i scurtez şi, pentru că în ultima vreme am mai slăbit, să şi strâmtez puţin una din perechi care nu-mi mai vine. Zis şi făcut. Rulez blugii, îi vâr în sacul de spate şi haidem - n-o să vă vină să credeţi - la... Iulius Maaaall!!! Acolo, pe unul din culoarele giganticului complex e un anunţ care arată că în parcarea de la Iulius Mall se fac “Retuşuri”. OK! Hai în parcare!
Sunt cu o prietenă. Vesele şi surâzătoare la gândul că vom termina repede şi scăpa ieftin pentru a merge apoi la o îngheţată, coborâm în parcare, la “Reduşi”, cum ne place să numim în glumă secţia de “Retuş”.
Găsim “retuşurile” şi intrăm. Ne întâmpină o doamnă zâmbitoare, cu o foarfecă imensă în mâna dreaptă.
- Bună ziua!
- Bună ziua! Ce aveţi?
- Blugi.
- Pentru?
- Scurtat...
- Scurtatul e 24,5 roni. Pe sfârşitul săptămânii viitoare.
“Cam scump şi mai şi durează”, mă gândesc. Dar doamna îmi citeşte parcă gândul:
- Cu o taxă de urgenţă îi aveţi mai repede - la începutul săptămânii viitoare.
- Da?
- Da.
- Şi cât e taxa de urgenţă?
- 38 roni.
- Aha! Bine... Păi, să vă arăt pantalonii, să vedeţi cam despre ce e vorba.
Scot cu prudenţă blugii din sac - doar o pereche, cei care trebuie şi strâmtaţi.
- Vreau să-i scurtez până aici - şi arăt acul de gămălie înfipt de acasă în pantalon - ...
- 24,5.
- ... Şi să îi strâmtez puţin pe picior...
- Unul e 24,5 - intervine doamna.
- Cum adică? Ce facem aici, lucrăm la crac?! Întreb, nevenindu-mi să cred.
Doamna zâmbeşte strâmb, oarecum compătimitor că nu pricep:
- Scurtatul e 24,5; strâmtatul - 24,5.
- Aha! Şi cred că ar mai trebui luaţi şi puţin în talie...
Prietena mea anticipează, precoce, bucuroasă că a prins ideea:
- ...Încă 24,5!
Doamna, zâmbind în continuare imperturbabil:
- N-aţi ghicit! Încă 34,5!
- Să recapitulăm: 24,5 o dată, 24,5 de două ori, plus 34,5, adică un total rotund de 84 roni... Păi la preţul ăsta îmi iau trei perechi de blugi proletari...
Doamna e de acord.
Împătur frumuşel blugii în geantă şi dispar.
Sus, la îngheţată, că aici, jos, m-am lămurit cum stăm cu “lucrul la crac”. Poate că totuşi cornetul de îngheţată mai e încă de mutra noastră, a pârliţilor naivi care-şi închipuie că transformarea unei perechi de blugi în pantaloni pescăreşti e de nasul lor la Iulius Mall!

Piticul din vârful parului

S-a suit Piticul în vârful parului din capătul satului şi nu s-a mai dat jos de acolo. S-au strâns oamenii ca la urs în jurul parului, unii minunându-se în gura mare, alţii crucindu-se în tăcere. L-au rugat să se dea jos; mai întâi cu binele şi cu frumosul, apoi aspru şi mustrător iar în cele din urmă cu huiduieli şi cu sudalme ca la uşa cortului. Piticul însă, mai încăpăţânat ca măgarul popii din sat, nu voia să coboare şi pace.
Văzând că nu-i chip să-l facă să se dea jos, oamenii au plecat în cele din urmă care încotro, lăsându-l în plata Domnului şi urându-i să stea acolo până s-o usca.
După ce au plecat sătenii, s-a făcut limişte. Nu se mai vedea ţipenie în jur. Doar porcul lui Parpanghel, umflat şi sătul, se apropia încetişor. Îşi mişca alene fundul dintr-o parte în alta, cu codiţa scurtă făcută cârcel.
Ajuns lângă par, porcul se opreşte. Priveşte în jur, grohăie nemulţumit şi începe să se scarpine, frecându-şi şoricul de par. Parul se mişcă, piticul se clatină şi începe să ţipe, înfricoşat.
Dar porcul se opreşte din scărpinat. Sprijinit mai departe de par, se lasă să alunece greoi pe pământ într-o rână. Adoarme grohăind mulţumit. Visează boabe de porumb, frunze de lăptucă, mere fierte cu mălai, rădăcini dulci de laba-ursului... Şi deodată, îi vine poftă de rădăcini. Sare în picioare şi începe să râme furios la rădăcina parului.
Parul se scutură teribil în toate părţile, cu Piticul cocoţat în vârf. Piticul ţipă îngrozit, şi se agaţă cu disperare de par. Parul se înclină din ce în ce mai periculos şi în cele din urmă se prăbuşeşte la pământ cu Pitic cu tot. După un moment de stupoare, Piticul o şterge...
Şi astfel, ce n-a reuşit un norod întreg cu ameninţări şi cu sudalme, a făcut porcul lui Parpanghel, aţâţat de poftă...

Punte peste intersecţie

Tipul evenimentului: întâmplare reală
Localizare spaţială: Bucureşti
Localizare temporală: decembrie 2010


Ea merge în fiecare zi la muncă, cu autobusul sau cu taxiul, aproape de fiecare dată în altă parte a oraşului. Se îndreaptă spre staţie, strecurându-se pe străduţele întortocheate, trecând ca o umbră pe lângă ziduri, garduri vii, printre maşini parcate pe trotuar, câini în lesă sau fără stăpân, pietoni grăbiţi, copii care merg la şcoală. Elegantă şi cochetă, e întotdeauna fericită şi bine dispusă, gata oricând să răspundă la un salut sau să se oprească în loc şi să strângă mâna cuiva.
Astăzi însă e frig, lumea trece grăbită încoace şi încolo, înfundându-şi adânc mâinile în buzunare şi strângându-şi mai bine fularul la gât, nerăbdătoare să ajungă cât mai repede la şcoală sau la serviciu, oriunde unde e bine şi cald.
Iată şi intersecţia. Aici, se opreşte, nehotărâtă. Oamenii trec pe lângă ea fără să se oprească, preocupaţi sau cu gândul aiurea, fiecare cu treburile şi grijile lui.
Ce să facă? Pe cine să întrebe?
Încă o clipă de ezitare, apoi se decide să treacă, dar deodată...
- Doamnă, vreţi să treceţi? Lăsaţi-mă să vă ajut...
Ezită din nou.
- Hai, nu vă fie teamă! Daţi-mi mâna!
Întinde mâna în cele din urmă şi degetele ei şovăitoare întâlnesc mâna omului, peste braţul metalic al căruciorului. Încremeneşte... Dar mâna omului o trage, căruciorul se pune în mişcare  şi încep să traverseze iute, strecurându-se cu multă îndemânare printre maşini şi pietoni. Într-o clipă, sunt pe celălalt trotuar. Aici, se opreşte, aiurită şi confuză, strângând încă mâna omului într-a sa, iar în cealaltă mânerul bastonului alb.
- Vă... mulţumesc.
- Mi-a făcut plăcere. Numai bine. Să aveţi o zi bună!
Şi omul se îndepărtează, urmărit de fâşâitul caracteristic al roţilor de cauciuc pe asfalt.
Începe să-şi revină. Traficul reîncepe cu şi mai mult zgomot, maşinile gonesc nebuneşte prin intersecţie, pietonii trec grăbiţi de pe un trotuar pe altul, lumea se mişcă, Pământul se învârteşte, soarele se ridică mai sus pe cer, sub stratul gros de nori.
Doar pentru o clipă lumea a stat în loc şi două mâini, venind din direcţii şi lumi diferite, s-au strâns cu putere peste marginea unui cărucior cu rotile, pentru a traversa o intersecţie într-o dimineaţă geroasă de iarnă...