La mulţi ani, Andreea!

Prietena mea împlineşte azi un sfert de secol şi cu această ocazie a întocmit un bilanţ mai puţin obişnuit pentru cea mai mare parte dintre noi: numărul ţărilor străbătute şi kilometrajul total înregistrat la bordul avioanelor. Norocul sau destinul i-au dat posibilitatea ca până la această vârstă să pună piciorul în 15 ţări din Europa, Africa şi Orientul Mijlociu, în 30 de oraşe, parcurgând o distanţă totală de 200.882 de km, echivalentă cu de 5 ori circumferinţa Pământului şi cu jumătate din distanţa de la Pământ la Lună. A întocmit chiar şi o hartă cu ţările în cauză, marcate cu verde, pe care o redau mai jos.

Create your own travel map


Andreea has traveled to: Austria, Cyprus, Egypt, France, Germany, Greece, Hungary, Italy, Morocco, Oman, Poland, Romania, San Marino, Turkey, United Arab Emirates, United Kingdom

În ordine alfabetică, acestea ar fi:
1. Austria (tranzit);
2. Cipru (4 ori);
3. Egipt (2 ori);
4. Emiratele Arabe Unite (21 ori);
5. Franţa;
6. Germania (2 ori);
7. Grecia (3 ori);
8. Italia;
9. Marea Britanie;
10. Maroc;
11. Oman (2 ori);
12. Polonia (3 ori);
13. San Marino;
14. Turcia;
15. Ungaria (tranzit).
Tot în ordine alfabetică, oraşele prin care a trecut sunt:
1. Ajman (Emiratele Arabe Unite);
2. Atena (Grecia);
3. Berlin (Germania);
4. Cairo (Egipt);
5. Casablanca (Maroc);
6. Dubai (Emiratele Arabe Unite);
7. Florenta (Italia);
8. Fujairah (Emiratele Arabe Unite);
9. Glasgow (Marea Britanie);
10. Hurghada (Egipt);
11. Istanbul (Turcia);
12. Khor Fakkan (Emiratele Arabe Unite);
13. Larnaca (Cipru);
14. Londra (Marea Britanie);
15. Luxor (Egipt);
16. München (Germania);
17. Muscat (Oman);
18. Nicosia (Cipru);
19. Paris (Franţa);
20. Rabat (Maroc);
21. Ras al-Khaimah (Emiratele Arabe Unite);
22. San Marino (San Marino);
23. Sharjah (Emiratele Arabe Unite);
24. Tarvisio (Italia);
25. Torun (Polonia);
26. Umm al-Quwain (Emiratele Arabe Unite);
27. Udine (Italia);
28. Valverde (Italia);
29. Varşovia (Polonia);
30. Veneţia (Italia)
Să fie aceasta o şansă extraordinară dată unui om din câteva sute de milioane sau pur şi simplu destinul? Cine ştie!?
Oricum, frumoasă şi grea şansă!
La mulţi ani şi la mai mare, Andreea!

Saramură de peşte

Prezentăm mai jos reţeta pentru o delicioasă saramură de peşte, reţetă pe care am primit-o de la dl. Marius Cracană, un pasionat şi talentat preparator de delicatese culinare:

SARAMURĂ DE PEŞTE
1 kg de peşte; 4-5 ardei capia; 2 ardei iuţi; 4-5 roşii; 4-5 căţei de usturoi pisaţi;o legătură de pătrunjel verde; o cană de apă; sare, piper după gust
Se curăţă peştii de solzi şi măruntaie, se prăjesc pe grătar, se aşează într-un vas, apoi se coc ardeii capia şi roşiile şi se decojesc.
Se prepară saramura: usturoiul pisat se amestecă cu sare şi piper după gust, se adaugă puţin ulei ca la maioneză şi se omogenizează totul până se obţine o pastă, apoi se adaugă ardeii iuţi tăiaţi mărunt, roşiile şi ardeii capia tăiaţi felii, pătrunjelul tocat mărunt şi o cană de apă. Se amestecă totul bine, se toarnă peste peştii din vas şi se dă vasul la cuptor timp de 20-30 minute.
Se serveşte cu mămăligă fierbinte.
Poftă bună!

O demonstraţie trigonometrică a relaţiei lui Euler

Relaţia lui Euler. Dacă O şi I sunt centrul cercului circumscris, respectiv centrul cercului înscris într-un triunghi oarecare, iar R şi r sunt respectiv razele acestor cercuri, atunci are loc următoarea relaţie, cunoscută sub numele de relaţia lui Euler:
(*) $OI^2=R^2-2Rr$.

Vom prezenta o demonstraţie trigonometrică a acestei relaţii.
Relaţia (*) este echivalentă cu:
(**) $OI^2-R^2=-2Rr$.
Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul AIO:
$OI^2=AI^2+AO^2-2AI\cdot AO\cdot \cos \widehat{IAO}\Leftrightarrow$
$OI^2=AI^2+R^2-2R\cdot AI\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})\Leftrightarrow$
(1) $OI^2-R^2=AI^2-2R\cdot AI\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})$.

Dacă $I_{1}$ este proiecţia lui I pe AB, atunci din triunghiul dreptunghic $AII_{1}$, obţinem:
$AI=\frac{II_{1}}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$.
Înlocuind în (1) pe AI, rezultă:
$OI^2-R^2=\frac{r^2}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{r}{\sim \frac{A}{2}}\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})$.
Comparând ultima relaţie cu (**), demonstraţia relaţiei lui Euler se reduce la a arăta că:
$\frac{r^2}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})=-2Rr$
adică
$\frac{r}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}\cdot \cos (\widehat{BAO}-\widehat{BAI})=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{r}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\cdot \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}\cdot (\cos \widehat{BAO}\cos \frac{A}{2}+\sin \widehat{BAO}\sin \frac{A}{2})=-2R\leftrightarrow$
(2) $\frac{r}{\sin^2 \frac{A}{2}}-2R\left(\cos \widehat{BAO}\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}+\sin \widehat{BAO}\right)=-2R$.
În continuare, vom ţine cont de formulele:
$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$ şi $\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$
şi de faptul că:
$m(\widehat{BAO})=\frac{\pi -m(\widehat{AOB})}{2}=\frac{\pi -2C}{2}=\frac{\pi}{2}-C$.
Aşadar, relaţia (2) devine:
(3) $\frac{rbc}{(p-b)(p-c)}-2R\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-C\right)\sqrt{\frac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}+\sin \left(\frac{\pi}{2}-C\right)\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{rbcp(p-a)}{S^2}-2R\left(\sin C\frac{S}{(p-b)(p-c)}+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{rbcp(p-a)}{rpS}-2R\left(\sin C\frac{Sp(p-a)}{S^2}+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{bc(p-a)}{\frac{abc}{4R}}-2R\left(\frac{p(p-a)}{\frac{abc}{4R}}\sin C+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4R(p-a)}a}-2R\left(\frac{4Rp(p-a)}{abc}\sin C+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4r(p-a)}{a}-2R\left(\frac{2cp(p-a)}{abc}+\cos C\right)=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4R(p-a)}{a}-\frac{4Rp(p-a)}{ab}-2R\cos C=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{4R(p-a)}{a}\left(1-\frac{p}{b}\right)-2R\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{-4R(p-a)(p-b)}{ab}-2R\frac{a^2+B^2-c^2}{2ab}=-2R\Leftrightarrow$
$\frac{2(p-a)(p-b)}{ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\Leftrightarrow$
$\frac{(b-a+c)(a-b+c)}{2ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\Leftrightarrow$
$\frac{ab-b^2+bc-a^2+ab-ac+ac-bc+c^2+a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\Leftrightarrow$
$\frac{2ab}{2ab}=1$ (A).
Q.E.D.

Cel mai înţelept prinţ - rezolvare

Pălăria dumneavoastră este albă. Împăratul nu ar fi ales două pălării albe şi una neagră. Aceasta ar fi însemnat ca cei doi prinţi să vadă o pălărie albă şi una neagră. Iar dumneavoastră aţi fi fost în dezavantaj dacă eraţi singurul prinţ care purta pălărie neagră.
Dacă aţi fi avut pălărie neagră, nu ar fi durat mult până când unul din ceilalţi doi prinţi ar fi dedus că poartă pălărie albă. Un prinţ înţelept care ar fi văzut o pălărie albă şi una neagră, şi-ar fi dat până la urmă seama că împăratul nu ar fi ales niciodată două pălării negre şi una albă. Văzând două pălării negre, oricare dintre ei ar fi ştiut că poartă pălărie albă. Aşadar, dacă un prinţ vede o pălărie neagră poate deduce că pălăria lui este albă.
Deci, întrecerea este dreaptă numai atunci când toţi cei trei prinţi poartă pălării albe. Aşteptând un timp pentru a fi sigur că nu greşiţi, puteţi spune fără urmă de îndoială că purtaţi pălărie albă.
(de pe www.fojl.com/puzzles/)